PID numérique

Présentation

L’objectif de l’asservissement PID (Proportionnel Intégral Dérivé) est de stabiliser le système en fonction d’une consigne. On cherche à atteindre une position donnée dans le cas du chariot, en traitant l'erreur entre la consigne et la mesure fournit par le capteur par le contrôleur PID, la nouvelle valeur obtenue sert de commande pour le moteur. On aura donc compris que la commande joue simplement sur la vitesse du moteur à travers le PWM.

Structure d'une boucle d'asservissement:

Ce modèle est une structure en parallèle mais il existe plusieurs architectures de PID, en série ou mixte.

Il y a trois paramètres à régler:

• L’action proportionnel P: amplifie l’erreur d’un facteur Kp (le gain) permettant une réaction plus rapide du système au changement de consigne en fonction du gain, mais peut faire diverger le système si celui-ci est trop élevé.

• L’action intégrale I: pour compenser l’erreur statique que l’action proportionnelle ne peut pas prendre en charge, l’action intégrale intègre cette erreur pendant un temps Ti, le résultat est ensuite ajouté à la commande. Plus cette action est importante, plus les oscillations autour de la consigne seront accentuées.

• L’action dérivé D: cette action dérive l’erreur pendant un temps Td, cela permet de diminuer les dépassements et le temps de stabilisation mais est très sensible au bruit.

Un peu de mathématiques pour déterminer l'algorithme du PID numérique

Les calculs suivants traiteront de la forme parallèle du contrôleur PID comme on vient de voir. Il peut paraître fastidieux, j'ai donc essayé de simplifier. Ce qu'il faut vraiment retenir c'est le résultat final et la signification de chaque terme de l'équation.

Pour un contrôleur PID parallèle, l'équation à temps continu s’écrit:

u(t) et ε(t) représentent respectivement le signal de commande et d’erreur à l’instant t. K est le gain proportionnel, T_i le temps d’intégration et T_d le temps de dérivation.

A temps discret l’intégrale et la dérivée deviennent:

T_e est la période d’échantillonnage.

D’où l’équation du PID à temps discret:

Ce qui permet de définir les paramètres K_p, K_i et K_d en fonction de la période d’échantillonnage:

Maintenant revenons sur l’équation du début à temps continu. Sa transformée de Laplace s'écrit:

L’équivalent à temps discret de la transformée de Laplace est la transformée en Z, ce qui nous donne:

Si on prend en compte les paramètres K_p , K_i et K_d décrits précédemment on aura donc:

En réarrangeant:

Ou encore:

Avec

 En mettant sous la forme d’'une équation aux différences on obtient:

u[k] est la valeur de la commande à l'instant k, elle est calculée en fonction des valeurs de commande et d'erreur à des instants passés représentés par k-1 et k-2.
Cette forme d’équation devient alors facilement implémentable en logique programmable par l'utilisation de bascule D, multiplieurs et additionneurs. 

Schéma bloc du contrôleur PID parallèle numérique:

Programme VHDL

library IEEE;
use IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;
use IEEE.NUMERIC_STD.ALL;
entity PID_simple is
port( clk : in std_logic;
set_point : in signed(15 downto 0); --signal de commande
measure : in signed(15 downto 0); --signal de control
K1,K2,K3 : signed(7 downto 0) := (others => '0'); --parametre PID
PIDout : inout signed(23 downto 0));  --sortie asservissement
end PID_simple;
architecture behavior of PID_simple is
signal error_prev1, error_prev2, error : signed(15 downto 0) := (others => '0');
signal u_prev, add_out : signed(23 downto 0) := (others => '0');
begin
error <= set_point - measure; --calcul de l erreur
add_out <= u_prev + K1*error + K2*error_prev1 + K3*error_prev2; --equation aux differences
process(clk) --retard
begin
if(rising_edge(Clk)) then
error_prev1 <= error;
error_prev2 <= error_prev1;
u_prev <= add_out;
PIDout <= add_out;
end if;
end process;
end behavior;